여러 수치 해석 방법론 비교 (FEM, FVM, FDM, BEM)

여러 수치해석 방법론에 대해서 알아보도록 하겠다. 먼저, 대표적으로 FDM, FEM, FVM, BEM에 대해서 알아보도록 하자. 

1. FDM (Finite Difference Method) 

a. 미분(Derivatives)를 Talyor expansion한 후, 주위의 값들을 이용하여 근사하는 방법. 
   - FEM 또는 BEM에 비해서, 편미분 방정식에서 1차 연립 방정식으로의 변환이 직접적 
  
b. Domain approximation 
   - 기하학적인 영역 내에서 유한 개의 점들을 생성하고 이를 Grid라 부른다.
   - Grid 간의 간격이 조밀 할 수록, 근사해의 정확도는 올라간다.  
   - 이웃한 Grid 간의 관계를 통해 미분방정식을 행렬 방정식으로 변환한다. 
c. Exact boundary condition 
d. array of grid points 

2.FEM (Finite Element Method)

a. Domain approximation
  - 영역을 Element라 불리는 요소들로 나눔 
  - 이 element 내에서 함수를 선형적인 해를 가지는 단순 함수로 근사시킨 후, 해당 함수가 미분방정식과 경계조건에 만족하도록 하는 방정식을 유도함 
b. exact boundary condition 
c. element-wise approximation 
d. assembly of element 
e. variational methods 
  - FEM에서는 주어진 해에 대한 변분법(variational method)를 사용하여 관련된 Error function이 Minimizing 되도록 한다. 

구조해석, 유체 해석, 열 해석, 자정 해석 등에서 가장 널리 보급된 수치해석방법론 

3. FVM (Finite Volume Method)

a. infinitesimal volume (혹은 element volume)에 대한 conservation law를 적용
   - FEM 및 FDM과 마찬가지로 discrete approximation을 통해 주어진 PDE를 선형적인 대수방정식으로 변환함 
   - FVM은 많은 물리법직이 보존법칙인 점에 기반함 
b. Grren-Gauss 체적법을 이용하여 미분방정식을 적분방정식으로 변환하며, 이 변환 중 보존법칙을 확실하게 만족함 

c. 유체역학에서 대류항을 처리하기 용이하므로 유체유동 해석에 많이 사용됨 
   - 보통 CFD (Computational Fluid Dynamics)에서 주로 사용함  

 

4. BEM (Boundary Element Method)

a. Inverse problem을 사용하여 미분방정식을 해결 
b. 미분방정식보단 적분방정식을 주로 사용 
c. boundary approximation 

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	장점	단점
FDM	a. Not need formulate matrix  b. less computation time  c. can interprete large displacement	1. 임의의 Geometry를 다루기 어려움
FEM	a. 다양한 공학적, 물리적 문제들을 해결가능  b. 임의의 Geometry에 대해서 해결가능	1. FDM과 비교하면 computation time 증가  2. 프로그래밍을 하는데 상대적으로 더 어려움
FVM	a. Easily formulate for unstructured meshed b. only need to do flux evaluation for the cell boundary   - extra powerful for robust handling of nonlinear conservation laws appearing in transport problems	a. difficulty in complex state b. difficult to make higher order, compared to FDM, FEM
BEM	a. Less computation time  b. easy to input and output  c. can interpret 3d problem to 2d problem	a. difficulty in time-dependent characteristics b. difficulty in complex state

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1] https://www.comsol.com/blogs/fem-vs-fvm/  
[2] https://www.machinedesign.com/3d-printing-cad/fea-and-simulation/article/21832072/whats-the-difference-between-fem-fdm-and-fvm  
[3] https://resources.pcb.cadence.com/blog/2020-finite-element-method-fem-vs-finite-volume-method-fvm-in-field-solvers-for-electronics